Question

13．已知：在△ABC中，∠BAC=60°．
（1）如图1，若AB=AC，点P在△ABC内，且PB=5，PA=3，PC=4，直接写出∠APC的度数．
（2）如图2，若AB=AC，点P在△ABC外，且PA=3，PB=5，PC=4，求∠APC的度数；
（3）如图3，若AB=2AC，点P在△ABC内，且PA=$\sqrt{3}$，PB=5，∠APC=120°，直接写出PC的长．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质得到△ADP为等边三角形，从而判断出△BPD为直角三角形，根据勾股定理计算即可；
（2）由旋转的性质得到△DAP是等边三角形，根据勾股定理的逆定理判断出△BPD为直角三角形，即可；
（3）作出△ABQ∽△ACP，判断出△APQ为直角三角形，从而得到△BPQ为直角三角形，根据勾股定理计算即可．

解答 解：（1）把△APC绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点B，得到△ADB，连结DP．

由旋转可知AD=AP，BD=PC，∠DAB=∠PAC，
∴∠DAP=∠BAC=60°，
∴△ADP为等边三角形，
∴DP=PA=3，∠ADP=60°，
∵PB=5，BD=PC=4，PD=3，
∴PD²+BD²=PB²
∴∠BDP=90°，
∴∠APC=∠ADB=∠ADP+∠PDB=60°+90°=150°．

（2）如图2，

把△APC绕点A顺时针旋转，使点C与点B重合，得到△ADB，连接PD，
∴△APC≌△ADB，
∴AD=AP=3，DB=PC=4，∠PAC=∠DAB，∠APC=∠2，
∴∠DAP=∠BAC，
∵∠BAC=60°，
∴∠DAP=60°，
∴△DAP是等边三角形，
∴PD=3，∠1=60°，
∴PD²+DB²=3²+4²=5²=PB²，
∴∠PDB=90°，
∴∠2=30°，
∴∠APC=30°；

（3）如图3

作△ABQ，使得：∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，则△ABQ∽△ACP，
∴∠AQB=∠APC=120°，
∵AB=2AC，
∴△ABQ与△ACP相似比为2，
∴AQ=2AP=2$\sqrt{3}$，BQ=2CP，∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°，
∵$\frac{AQ}{AP}$=2，
∴∠APQ=90°，PQ=3，
∴∠AQP=30°
∴∠BQP=∠AQB-∠AQP=120°-30°=90°，
根据勾股定理得，BQ=$\sqrt{P{B}^{2}-P{Q}^{2}}$=4，
∴PC=$\frac{1}{2}$BQ=2．

点评 本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质和判断方法，勾股定理，直角三角形的判定是解本题的关键，学会利用旋转添加辅助线，构造特殊三角形，属于中考常考题型．