Question

7．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A₁，若图中阴影部分的三角形都是等腰直角三角形，则从左往右第4个阴影三角形的面积是128，第2017个阴影三角形的面积是2⁴⁰³³．

Answer 1

分析 根据一次函数图象上点的坐标特征结合等腰直角三角形的性质，即可得出OA₁、A₂B₁、A₃B₂、A₄B₃的值，根据边的长度的变化即可找出变化规律“A_n+1B_n=B_nB_n+1=2ⁿ⁺¹”，再根据三角形的面积即可得出S_n+1=$\frac{1}{2}$×（2ⁿ⁺¹）²=2²ⁿ⁺¹，分别代入n=3、2016即可求出结论．

解答 解：当x=0时，y=x+2=2，
∴OA₁=OB₁=2；
当x=2时，y=x+2=4，
∴A₂B₁=B₁B₂=4；
当x=2+4=6时，y=x+2=8，
∴A₃B₂=B₂B₃=8；
当x=6+8=14时，y=x+2=16，
∴A₄B₃=B₃B₄=16．
∴A_n+1B_n=B_nB_n+1=2ⁿ⁺¹，
∴S_n+1=$\frac{1}{2}$×（2ⁿ⁺¹）²=2²ⁿ⁺¹．
当n=3时，S₄=2^2×3+1=128；当n=2016时，S₂₀₁₇=2^2×2016+1=2⁴⁰³³．
故答案为：128；

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型中数的变化规律，根据一次函数图象上点的坐标特征结合等腰直角三角形的性质，找出等腰直角三角形的直角边长为“A_n+1B_n=B_nB_n+1=2ⁿ⁺¹”是解题的关键．