Question

15．如图，在?ABCD中，∠BAC=90°，对角线AC，BD相交于点P，以AB为直径的⊙O分别交BC，BD于点E，Q，连接EP并延长交AD于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：EF²=4BP•QP．

Answer 1

分析 （1）连接OE，AE，由AB是⊙O的直径，得到∠AEB=∠AEC=90°，根据四边形ABCD是平行四边形，得到PA=PC推出∠OEP=∠OAC=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由AB是⊙O的直径，得到∠AQB=90°根据相似三角形的性质得到∴PA²=PB•PQ，根据全等三角形的性质得到PF=PE，求得PA=PE=$\frac{1}{2}$EF，等量代换即可得到结论．

解答 证明：（1）连接OE，AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴PA=PC，
∴PA=PC=PE，
∴∠PAE=∠PEA，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠OEP=∠OAC=90°，
∴EF是⊙O的切线；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠AQB=90°，
∴△APQ∽△BPA，
∴$\frac{PA}{BP}=\frac{PQ}{PA}$，
∴PA²=PB•PQ，
在△AFP与△CEP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PAF=∠PCE}\\{∠APF=∠CPE}\\{PA=PC}\end{array}\right.$，
∴△AFP≌△CEP，
∴PF=PE，
∴PA=PE=$\frac{1}{2}$EF，
∵PE²=PB•PQ=（$\frac{1}{2}$EF）²，
∴EF²=4BP•QP．

点评 本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．