Question

3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，E是BC的中点，BC=2AD=$2\sqrt{3}$，△DEF是等边三角形，连结BF、AF．
（1）求证：四边形ADEB为矩形．
（2）求△BEF的面积．

Answer 1

分析 （1）求出AD=BE，根据平行四边形的判定得出四边形ADEB是平行四边形，根据矩形的判定得出即可；
（2）求出DE，根据等边三角形性质得出∠DEF=60°，EF=DE=3，求出∠FEB的度数，求出高FM的长，根据三角形的面积公式求出即可．

解答 （1）证明：∵E是BC的中点，BC=2AD，
∴AD=BE，
∵AD∥BC，
∴AD∥BE，
∴四边形ADEB是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ADEB是矩形；

（2）解：过F作FM⊥BE，交EB的延长线于M，则∠M=90°，
∵四边形ADEB是矩形，
∴∠DEB=90°，
∴∠DEC=90°，
∵BC=2$\sqrt{3}$，E为BC的中点，
∴CE=BE=$\sqrt{3}$，
∵∠C=60°，
∴DE=$\sqrt{3}$CE=3，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠DEF=60°，EF=DE=3，
∴∠FEB=90°-60°=30°，
∴FM=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$×3=$\frac{3}{2}$，
∴△BEF的面积是$\frac{1}{2}$×BE×FM=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，等边三角形的性质，直角三角形的性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：有一个角是直角的平行四边形是矩形．