题目内容
10．
如图，?ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动，两点均运动到点D停止．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？
（2）在相遇前，是否存在过点M和N的直线将?ABCD的面积平分？若存在，请求出所需时间；若不存在，请说明理由．
（3）若点E在线段BC上，BE=2cm，动点M、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟时，与点A、E、N恰好能组成平行四边形？
分析 （1）相遇时，M和N所经过的路程正好是矩形的周长，在速度已知的情况下，只需列方程即可解答．
（2）存在，当MN经过?ABCD的中心O时，过点M和N的直线将?ABCD的面积平分，根据四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，AO=CO，推出△AON≌△COM，根据全等三角形的性质得到AN=CM，同理△BOM≌△DON，推出S四边形ABMN=S四边形CMND，列方程即可得到结论；
（3）因为按照N的速度和所走的路程，在相遇时包括相遇前，N一直在AD上运动，当点M运动到BC边上的时候，点A、E、M、N才可能组成平行四边形，其中有两种情况，即当M到C点时以及在BC上时，所以要分情况讨论．
解答 解：（1）设t秒时两点相遇，∵在?ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，
∴CD=AB=4cm，AD=BC=8cm，
∴?ABCD的周长=24cm，
∴t+2t=24，解得t=8，
∴动点M、N同时出发，经过8秒钟两点相遇；
（2）存在，当MN经过?ABCD的中心O时，过点M和N的直线将?ABCD的面积平分，
如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AO=CO，
∴∠OAN=∠OCM，∠ANO=∠CMO，
在△AON与△COM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAN=∠OCM}\\{∠ANO=∠OMC}\\{AO=CO}\end{array}\right.$，
∴△AON≌△COM，
∴AN=CM，
同理△BOM≌△DON，
∴S四边形ABMN=S四边形CMND，
∵AN=CM，即2t-4=8-t，
∴t=4，
∴当经过4秒钟，过点M和N的直线将?ABCD的面积平分；
（3）由（1）知，点N一直在AD上运动，所以当点M运动到BC边上的时候，点A、E、M、N才可能组成平行四边形，所以2≤t≤6，
设经过t秒，四点可组成平行四边形．分两种情形：
①当M点在E点右侧，
如图2：此时AN=EM，则四边形AEMN是平行四边形，
∵DN=t，CM=2t-4，
∴AN=8-t，EM=8-2-（2t-4），
∴8-t=8-2-（2t-4），
解得t=2，
当M点在B点与E点之间，8-t=2t-10，解得t=6，
∴点M运动到第2秒或6秒钟时，点A、E、M、N组成平行四边形．
点评 本题主要考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定和性质，难度较大，点的运用会使学生感觉有一定的困难，但仔细分析后会发现考查的还是一些基本性质的运用．
如图，一次函数y=kx+b图象经过点A（-4，0）和点B（0，2），| A． | 不变 | B． | 扩大2倍 | C． | 缩小2倍 | D． | 扩大4倍 |
如图，在?ABCD中，∠BAC=90°，对角线AC，BD相交于点P，以AB为直径的⊙O分别交BC，BD于点E，Q，连接EP并延长交AD于点F．
如图，是一次函数y=ax+b的图象，那么a、b的取值范围是（ ）| A． | a＞0，b＞0 | B． | a＜0，b＞0 | C． | a＞1，b＞0 | D． | a＜1，b＞0 |
| A． | 正方形 | B． | 矩形 | C． | 菱形 | D． | 平行四边形 |
