Question

18．如图，点O为矩形ABCD对角线AC的中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF、DE、BO．
（1）求证：OE=OF；
（2）若∠COB=60°，FO=FC．求证：四边形EBFD是菱形．

Answer 1

分析 （1）只要证明△FCO≌△EAO即可解决问题；
（2）首先证明四边形BEDF是平行四边形，再证明BE=BF即可解决问题；

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FCO=∠EAO，
在△FCO和△EAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCO=∠EAO}\\{OC=OA}\\{∠FOC=∠AOE}\end{array}\right.$，
∴△FCO≌△EAO，
∴OF=OE．

（2）∵△FCO≌△EAO，
∴CF=AE，
∵CD=AB，
∴DF=BE，
∵DF∥EB，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵△ABC是直角三角形，OA=OC，
∴OB=OC，∵∠COB=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC=BO
∵OF=FC，FB=FB，
∴△BFO≌△BFC，
∴∠BOF=∠BCF=90°，
∵OE=OF，BO⊥EF，
∴BE=BF，
∴四边形BEDF是菱形．

点评 本题考查矩形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．