Question

14．如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5cm，AB=12cm，CD=6cm，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度向D移动，同时点P从A开始沿AB以3cm/s的速度向B移动，当其中一点到达终点时运动停止．设运动时间为t秒．
（1）当t=1.5时，求证：PQ$\stackrel{∥}{=}$AD；
（2）当t=3s时，线段PQ能否平分对角线BD；
（3）当t=$\frac{12}{7}$s时，点P恰好在DQ的垂直平分线上．

Answer 1

分析 （1）先求出AP=DQ，再证明四边形APQD是平行四边形，即可得出结论；
（2）当线段PQ平分对角线BD时，由DE=BE，得出DQ=BP，列出方程，解方程即可；
（3）作DN⊥AB于N，CM⊥AB于M，先求出AN，再由DQ=2PN，列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）当t=1.5时，CQ=1.5，AP=3×1.5=4.5，
∴DQ=6-1.5=4.5，
∴AP=DQ，
∵AB∥CD，
∴AP∥DQ，
∴四边形APQD是平行四边形，
∴PQ∥AD，PQ=AD；
（2）当t=3s时，线段PQ能平分对角线BD；
如图所示：连接BD交PQ于E，理由如下：
∵AB∥CD，
∴BP∥DQ，当线段PQ平分对角线BD时，
∵DE=BE，
∴DQ=BP，
∵DQ=6-t，BP=12-3t，
∴6-t=12-3t，
解得：t=3；
∴当t=3s时，线段PQ能平分对角线BD；
（3）当t=$\frac{12}{7}$s时，点P恰好在DQ的垂直平分线上；理由如下：
如图所示：作DN⊥AB于N，CM⊥AB于M，
则AN=$\frac{1}{2}$（12-6）=3，
当点P恰好在DQ的垂直平分线上时，PF垂直平分DQ，DQ=2PN，
∵PN=3t-3，DQ=6-t，
∴6-t=2（3t-3），
解得：t=$\frac{12}{7}$；
即当t=$\frac{12}{7}$s时，点P恰好在DQ的垂直平分线上．

点评 本题考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质；本题有一定难度，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线，列出方程才能解决问题．