Question

19．如图所示，⊙D 的半径为3，A是圆D外一点且AD=5，AB，AC分别与⊙D相切于点B，C．G是劣弧BC上任意一点，过G作⊙D的切线，交AB于点E，交AC于点F．
（1）△AEF的周长是8；
（2）当G为线段AD与⊙D的交点时，连结CD，则五边形DBEFC的面积是9．

Answer 1

分析 （1）根据切线长定理就可证明BE=EG，FG=FC，则△AEF的周长是：AE+EG+FG+AF=AB+AC，据此即可求解；
（2）当G为线段AD与⊙D的交点时，EF于AD垂直，根据△AEG∽△ADB求得EF的长，根据S_{五边形DBEFC}=S_{四边形ABDC}-S_△AEF求解．

解答 解：（1）如图1所示：连接ED，DG，FD，CD，
∵AB，AC分别与⊙D相切于点B，C，
∴AB=AC，∠ABD=∠ACD=90°，
∵⊙D 的半径为3，A是圆D外一点且AD=5，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}-B{D}^{2}}$=4，
∵过G作⊙D的切线，交AB于点E，交AC于点F，
∴BE=EG，FG=FC，
则△AEF的周长是：AE+EG+FG+AF=AB+AC=8．
故答案为：8；

（2）如图2，AG=AD-DG=5-3=2．
∵在△AEG和△ADB中，∠ABD=∠AGD=90°，∠BAD=∠EAG，
∴△AEG∽△ADB，
∴$\frac{EG}{BD}$=$\frac{AG}{AB}$，即$\frac{EG}{3}$=$\frac{2}{4}$，
∴EG=$\frac{3}{2}$，
∴EF=2EG=3，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$EF•AG=$\frac{1}{2}$×3×2=3．
又∵S_{四边形ABDC}=2S_△ABD=AB•BD=3×4=12，
∴S_{五边形DBEFC}=12-3=9．
故答案是：9．

点评 本题考查了切线长定理，以及相似三角形的判定与性质、切线的性质定理，理解当G为线段AD与⊙D的交点时，EF于AD垂直，求得EF的长是关键．