Question

9．若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．已知四边形ABCD中，AB=AD=BC=2，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，且AC≠CD，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 首先根据题意画出图形，然后由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图1，图2两种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以得出四边形ABCD的面积．

解答 解：如图，

∵AC是四边形ABCD的和谐线，
∴△ACD是等腰三角形．
∵AB=AD=BC，
如图1，当AD=AC时，
∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC
∴△ABC是正三角形，
∴∠BAC=∠BCA=60°．
∵∠BAD=90°，
∴∠CAD=30°，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=$\frac{1}{2}$×2×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$×2×2×$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$+1．
如图2，当AD=CD时，
∴AB=AD=BC=CD．
∵∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴S_{四边形ABCD}=2×2=4；
综上所知四边形ABCD的面积为$\sqrt{3}$+1或4．

点评 此题考查了等腰三角形的性质、矩形的性质、正方形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．