Question

7．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥AC于点F，且OF=1．
（1）求BD的长；
（2）当∠D=30°时，求圆中$\widehat{AC}$的长和阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的中位线定理可得BC=2OF=2，再利用垂径定理可得$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，推出BD=BC，即可解决问题．
（2）连接OC，利用弧长公式求出弧AC，再求出弓形的面积即可．

解答 解：（1）∵OF⊥AC，
∴AF=FC，∵OA=OB，
∴BC=2OF=2，
∵AB⊥CD，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
∴BD=BC=2．

（2）连接OC．
∵∠CAB=∠D=30°，OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∴∠AOC=120°，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，BC=2，∠CAB=30°，
∴AB=2BC=4，AC=$\sqrt{3}$BC=2$\sqrt{3}$，
∴$\widehat{AC}$的长=$\frac{120•π•2}{180}$=$\frac{4π}{3}$，
阴影部分的面积=$\frac{120•π•{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{3}$×1=$\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形30度角性质、扇形的面积公式、弓形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，学会用分割法求阴影部分面积，属于中考常考题型．