如图.抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+4交于C.D两点.其中点C在y轴上.点D的坐标为(6.7)．点P是y轴右侧的抛物线上一动点.过点P作PE⊥x轴于点E.交CD于点F.作PM⊥CD于点M．(1)求抛物线的解析式及sin∠PFM的值．(2)设点P的横坐标为m:①若P在CD上方.用含m的代数式表示线段PM的长.并求出线段PM长的最大值,②当m为何值时.以O.C.P.F为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．

如图，抛物线y=-x²+bx+c与直线y=x+4交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（6，7）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F，作PM⊥CD于点M．
（1）求抛物线的解析式及sin∠PFM的值．
（2）设点P的横坐标为m：
①若P在CD上方，用含m的代数式表示线段PM的长，并求出线段PM长的最大值；
②当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．

分析（1）易求C点的坐标，再把C和D点的坐标代入抛物线y=-x²+bx+c可求出b和c的值则抛物线的解析式可求出；若要求sin∠PFM的值可转化为求sin∠OCE；
（2）①设点P的横坐标为m，则P（m，-m²+$\frac{13}{2}$m+4），F（m，m+4）．则PF=y_P-y_F=（-m²+$\frac{13}{2}$m+4）-（ m+4）=-m²+6m，进而根据二次函数的性质即可求出线段PM长的最大值；
②若以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形，只要PF=OC=4，构建方程即可解决问题．

解答解：（1）C在直线y=x+4上，
∴C（0，4）．
∵点C（0，4）、D（6，7）在抛物线y=-x²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{-36+6b+c=7}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{13}{2}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+$\frac{13}{2}$x+4．
∵直线CD的解析式为y=x+4，
∴易知∠PFM=45°，
∴sin∠PFM=sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$

（2）①设点P的横坐标为m，则P（m，-m²+$\frac{13}{2}$m+4），F（m，m+4）．
∵PF=y_P-y_F=（-m²+$\frac{13}{2}$m+4）-（ m+4）=-m²+$\frac{11}{2}$m，
在Rt△PFM中，PM=PF sin∠PFM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（-m²+$\frac{11}{2}$m）
=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（m-$\frac{11}{4}$）²+$\frac{121\sqrt{2}}{32}$，
∵-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜0，
∴当m=$\frac{11}{4}$时，PM的最大值为$\frac{121\sqrt{2}}{32}$．
∴PM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（-m²+$\frac{11}{2}$m），PM的最大值为$\frac{121\sqrt{2}}{32}$．

②∵PF∥OC，
若以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形，只要PF=OC=4，
由题意：（-m²+$\frac{13}{2}$m+4）-（ m+4）=4和（m+4）-（-m²+$\frac{13}{2}$m+4）=4，
解得m=$\frac{11±\sqrt{57}}{4}$或$\frac{11+\sqrt{185}}{4}$或$\frac{11-\sqrt{185}}{4}$（舍弃）
∴当m为$\frac{11±\sqrt{57}}{4}$或$\frac{11-\sqrt{185}}{4}$时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形．