Question

14．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交BC，AB于点E，M，边AC的垂直平分线交BC，AC于点F，N，△AEF的周长是10．
（1）求BC的长度；
（2）若∠B+∠C=45°，EF=4，求△AEF的面积．

Answer 1

分析 （1）根据线段垂直平分线的性质得到BE=AE，FA=FC，根据三角形的周长公式计算即可；
（2）根据题意得到∠EAF=90°，利用完全平方公式解答．

解答 解：（1）∵ME是边AB的垂直平分线，NF是AC的垂直平分线，
∴BE=AE，FA=FC，
∴BC=BE+EF+FC=AE+EF+AF=10；
（2）∵∠B+∠C=45°，
∴∠BAC=135°，
∵BE=AE，FA=FC，
∴∠EAB=∠B，∠FAC=∠C，
∴∠EAF=90°，
∴AE²+AF²=16，又AE+AF=10-4=6，
∴△AEF的面积=$\frac{1}{2}$AE×AF=$\frac{1}{4}$[（AE+AF）²-（AE²+AF²）]=5

点评 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．