Question

7．方程$\frac{1}{x-2}$-$\frac{1}{x-4}$=$\frac{1}{x-3}$-$\frac{1}{x-5}$的解是x=$\frac{7}{2}$；
方程$\frac{1}{x-7}$-$\frac{1}{x-5}$=$\frac{1}{x-6}$-$\frac{1}{x-4}$的解是x=$\frac{11}{2}$．
（1）试猜想方程$\frac{1}{x-7}$+$\frac{1}{x-1}$=$\frac{1}{x-6}$$+\frac{1}{x-2}$的解；
（2）验证（1）的解并猜想方程$\frac{1}{x-a}$-$\frac{1}{x-b}$=$\frac{1}{x-c}$$-\frac{1}{x-d}$的解．（a，b，c，d表示不同的数，且a+d=b+c）

Answer 1

分析 （1））首先把$\frac{1}{x-7}$+$\frac{1}{x-1}$=$\frac{1}{x-6}$$+\frac{1}{x-2}$转化成$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x-2}$=$\frac{1}{x-6}$-$\frac{1}{x-7}$，然后根据方程$\frac{1}{x-2}$-$\frac{1}{x-4}$=$\frac{1}{x-3}$-$\frac{1}{x-5}$的解是x=$\frac{7}{2}$=$\frac{2+5}{2}$；方程$\frac{1}{x-7}$-$\frac{1}{x-5}$=$\frac{1}{x-6}$-$\frac{1}{x-4}$的解是x=$\frac{11}{2}$=$\frac{7+4}{2}$；猜想方程$\frac{1}{x-7}$+$\frac{1}{x-1}$=$\frac{1}{x-6}$$+\frac{1}{x-2}$的解是多少即可．
（2）首先验证x=4是方程$\frac{1}{x-7}$+$\frac{1}{x-1}$=$\frac{1}{x-6}$$+\frac{1}{x-2}$的解；然后根据a+d=b+c，猜想方程$\frac{1}{x-a}$-$\frac{1}{x-b}$=$\frac{1}{x-c}$$-\frac{1}{x-d}$的解是x=$\frac{a+d}{2}$．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{x-7}$+$\frac{1}{x-1}$=$\frac{1}{x-6}$$+\frac{1}{x-2}$，
∴$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x-2}$=$\frac{1}{x-6}$-$\frac{1}{x-7}$，
∵方程$\frac{1}{x-2}$-$\frac{1}{x-4}$=$\frac{1}{x-3}$-$\frac{1}{x-5}$的解是x=$\frac{7}{2}$=$\frac{2+5}{2}$；
方程$\frac{1}{x-7}$-$\frac{1}{x-5}$=$\frac{1}{x-6}$-$\frac{1}{x-4}$的解是x=$\frac{11}{2}$=$\frac{7+4}{2}$；
∴猜想方程$\frac{1}{x-7}$+$\frac{1}{x-1}$=$\frac{1}{x-6}$$+\frac{1}{x-2}$的解是x=$\frac{1+7}{2}$=4．

（2）当x=4时，
∵$\frac{1}{x-7}$+$\frac{1}{x-1}$=$\frac{1}{4-7}+\frac{1}{4-1}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=0$
$\frac{1}{x-6}$$+\frac{1}{x-2}$=$\frac{1}{4-6}+\frac{1}{4-2}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$，
∴方程$\frac{1}{x-7}$+$\frac{1}{x-1}$=$\frac{1}{x-6}$$+\frac{1}{x-2}$的解是x=4．
∵a+d=b+c，
∴猜想方程$\frac{1}{x-a}$-$\frac{1}{x-b}$=$\frac{1}{x-c}$$-\frac{1}{x-d}$的解是x=$\frac{a+d}{2}$（或x=$\frac{b+c}{2}$）．

点评 此题主要考查了形如$\frac{1}{x-a}$-$\frac{1}{x-b}$=$\frac{1}{x-c}$$-\frac{1}{x-d}$的分式方程的解，要注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．