Question

18．如图，在Rt△AGD中，以斜边AD为边在△AGD外作正方形ABCD，连接CG，BG，已知AG=DG=1．
（1）求CG的长；
（2）求点B到CG的距离．

Answer 1

分析 （1）过G点作GE⊥BC于E，根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得GE，CE的长，根据勾股定理可求CG的长；
（2）根据三角形面积公式可求点B到CG的距离．

解答 解：（1）过G点作GE⊥BC于E，
∵在Rt△AGD中，AG=DG=1，
∴AD=$\sqrt{2}$，DF=GF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=AD=$\sqrt{2}$，CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，EF=$\sqrt{2}$，
∴GE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△GEC中，CG=$\sqrt{C{E}^{2}+G{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
（2）设点B到CG的距离是x，依题意有
$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$x=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
解得x=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
故点B到CG的距离是$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

点评 考查了勾股定理，三角形的面积，等腰直角三角形的性质和正方形的性质，关键是熟悉勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．