Question

16．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）说明EO=FO；
（2）当点O运动到OA=$\frac{1}{2}$AC时，四边形AECF是矩形？说明你的结论．
（3）在（2）的条件下，当∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形．

Answer 1

分析 （1）根据MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD及等角对等边即可证得OE=OF；
（2）根据矩形的性质可知：对角线互相平分，即AO=CO，OE=OF，故当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
（3）当∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形；根据平行线的性质可得∠AOE=∠ACB=90°，进而可得AC⊥EF，再根据对角线互相垂直的矩形是正方形可得结论．

解答 （1）证明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，
∴OE=OC，OC=OF，
∴OE=OF．

（2）解：当O运动到AO=$\frac{1}{2}$AC时，四边形AECF是矩形，
∵AO=CO，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECA+∠ACF=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠ECF=90°，
∴四边形AECF是矩形．
故答案为：$\frac{1}{2}$；

（3）当∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形．
∵MN∥BD，
∴∠AOE=∠ACB=90°，
∴AC⊥EF，
∵四边形AECF是矩形，
∴四边形AECF是正方形，
故答案为：90°．

点评 此题主要考查了矩形和正方形的判定，以及角平分线的定义，平行线的性质，关键是掌握正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等或对角线互相垂直；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角或对角线相等．