Question

15．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，在△ABC的外部，以AB为直角边作等腰直角△ABD，连接CD，则△BCD的周长为4$\sqrt{5}$+4$\sqrt{2}$+4或8$\sqrt{2}$+8．

Answer 1

分析 分情况讨论，①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC；②以B为直角顶点，向外作等腰直角三角形ADB．分别画图，即可得到结论．

解答 解：①如图1，以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAB，
∵∠DAB=90°，且AD=AB=4，
∴BD=BC=4$\sqrt{2}$，
∴△BCD的周长=8$\sqrt{2}$+8；
②如图2，以B为直角顶点，向外作等腰直角三角形ABD，
，连接CD，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于E．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，
∴∠DAE=45°，
又∵DE⊥CE，
∴∠DEC=90°，
∴∠ADE=45°，
∴AE=DE=4，
∴CE=8，
∴CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴△BCD的周长为4$\sqrt{5}$+4$\sqrt{2}$+4；
故答案为：4$\sqrt{5}$+4$\sqrt{2}$+4或8$\sqrt{2}$+8．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题时注意分类讨论，不要漏掉所有可能的情况．