Question

10．如图（1），E为正方形ABCD的边AD上一点．AE：ED=1：$\sqrt{2}$，过E作EP⊥BD于P．连接AP、CP．BE与AP交于G．
（1）证明：AP=CP；
（2）求∠ABE的度数；
（3）如图（2），点F在AD的延长线上，且PA=PF，PF交CD于H，连接CF，请写出线段AP与线段CF的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质，判定△ADP≌△CDP，进而得到AP=CP；
（2）先根据△DEP是等腰直角三角形以及AE：ED=1：$\sqrt{2}$，得到AE=PE，再判定Rt△ABE≌Rt△PBE，最后求得∠ABE的度数；
（3）先根据等腰三角形的性质求得∠APC和∠APF的度数，进而计算出∠CPF为直角，得到△CPF为等腰直角三角形，根据其边角关系以及PA=PF=PC，得到线段AP与线段CF的数量关系．

解答 解：（1）∵正方形ABCD中，AD=CD=45°
∴在△ADP和△CDP中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADP=∠CDP}\\{PD=PD}\end{array}\right.$
∴△ADP≌△CDP（SAS）
∴AP=CP；
（2）∵EP⊥BD，∠EDP=45°
∴△DEP是等腰直角三角形
∴PE：ED=1：$\sqrt{2}$
又∵AE：ED=1：$\sqrt{2}$
∴AE=PE
在Rt△ABE和Rt△PBE中
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BE}\\{AE=PE}\end{array}\right.$
∴Rt△ABE≌Rt△PBE（HL）
∴∠ABE=∠PBE=$\frac{1}{2}$∠ABD=22.5°
（3）线段AP与线段CF的数量关系为：CF=$\sqrt{2}$AP
由Rt△ABE≌Rt△PBE可得，AB=PB
∵∠ABP=45°
∴∠APB=67.5°=∠CPB，即∠APC=135°
∵AE=PE，∠PED=45°
∴∠PAE=22.5°
又∵PA=PF
∴∠APF=180°-2×22.5°=135°
∴∠CPF=360°-135°-135°=90°
又∵PA=PF=PC
∴△PCF是等腰直角三角形
∴CP：CF=1：$\sqrt{2}$
∴AP：CF=1：$\sqrt{2}$
即CF=$\sqrt{2}$AP

点评 本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定，解决问题的关键是根据等腰三角形的底角度数求得顶角度数，以及根据顶角度数求得底角度数．解题时注意，在等腰直角三角形中，其直角边与斜边的比值为1：$\sqrt{2}$，即底边长是腰长的$\sqrt{2}$倍．