Question

7．已知，如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，O为BC延长线上一点，CO=3，过O，A作直线l，将l绕点O逆时针旋转，l与AB交于点D，与AC交于点E，当l与OB重合时，停止旋转；过D作DM⊥AE于M，设AD=x，S_△ADE=S．

探究1
用含x的代数式表示DM，AM的长；
探究2
当直线l过AC中点时，求x的值；
探究3
用含x的代数式表示AE的长；
发现：
求S与x之间的函数关系式；
探究4
当x为多少时，DO⊥AB．

Answer 1

分析 探究1，根据勾股定理求出AB=10，再由DM∥BC，得出$\frac{AD}{AB}=\frac{DM}{BC}$，求出DM；
探究2，由直线l过AC中点，得到AE=CE=$\frac{1}{2}$AC=4，再由DM∥BC，$\frac{DM}{OC}=\frac{ME}{CE}$，$\frac{DM}{BC}=\frac{AM}{AC}$，求出AM=ME=$\frac{1}{2}$AE=2，从而求出x；
探究3，由DM，AM，求出MC，再由DM∥BC，得出比例式求出ME，从而得到AE；
发现：由探究1，得到DM，再由探究3，得到AE求出S；
探究4，由DO⊥AB，得到∠B+∠BOD=90°，判断出△OBD∽△ABC，求出BD即可，

解答 解：探究1，如图1，

在Rt△ABC中，BC=6，AC=8，
∴AB=10，
∵DM⊥AC，BC⊥AC，
∴DM∥BC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DM}{BC}$，
∴$\frac{x}{10}=\frac{DM}{6}$，
∴DM=$\frac{3}{5}$x，
探究2，如图2，

∵直线l过AC中点，
∴AE=CE=$\frac{1}{2}$AC=4，
∵DM∥BC，
∴$\frac{DM}{OC}=\frac{ME}{CE}$，
∴$\frac{DM}{3}=\frac{ME}{4}$①，
∵DM∥BC，
∴$\frac{DM}{BC}=\frac{AM}{AC}$
∴$\frac{DM}{6}=\frac{AM}{8}$，
∴$\frac{DM}{3}=\frac{AM}{4}$②，
由①②得，AM=ME=$\frac{1}{2}$AE=2，
∵DM∥BC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AM}{AC}$，
∴$\frac{x}{10}=\frac{2}{8}$，
∴x=$\frac{5}{2}$，
探究3，
由（1）有，DM=$\frac{3}{5}$x，
在Rt△ADM中，AM=$\frac{4}{5}$x，
∴MC=8-AM=8-$\frac{4}{5}$x，
∵DM∥BC，
∴$\frac{DM}{OC}=\frac{ME}{EC}$，
∴$\frac{DM}{OC+DM}=\frac{ME}{MC}$，
∴$\frac{\frac{3}{5}x}{3+\frac{3}{5}x}=\frac{ME}{8-\frac{4}{5}x}$，
∴ME=$\frac{4x（10-x）}{5（x+5）}$，
∴AE=AM+ME=$\frac{4x}{x+5}$，
发现：
由DM=$\frac{3}{5}$x，AE=$\frac{12}{5}$x-$\frac{4}{25}$x²，
∴S=$\frac{1}{2}$AE×DM=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$x×（$\frac{12}{5}$x-$\frac{4}{25}$x²）=$\frac{18}{25}$x²-$\frac{6}{125}$x³，
探究4
∵DO⊥AB，
∴∠B+∠BOD=90°，
∵∠B+∠BAC=90°，
∴∠BOD=∠BAC，
∴△OBD∽△ABC，
∴$\frac{OB}{AB}=\frac{BD}{BC}$，
∴$\frac{9}{10}=\frac{BD}{6}$，
∴BD=5.4，
∴x=AD=AB-BD=10-5.4=4.6．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质，比例的基本性质，解本题的关键是写出比例式求出相关的线段．