Question

5．如图，平行四边形ABCD中，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，E是BC的中点，点P、Q分别从A、E出发，沿着四边形的边向D点移动，移动时始终保持PQ∥AE，设△BPQ的面积是y，AP=x，则y关于x的函数图象大致是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 先过A作AH⊥BC，求得AD和BC之间的距离，再分两种情况进行讨论，第一种是点Q在CE上移动，第二种是点Q在CP上移动，根据△BPQ面积的不同计算方式，分别列出函数关系式即可．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
过A作AH⊥BC于H，则∠AHB=90°，
∵AB=2，∠ABC=60°，
∴AH=AB×sin60°=$\sqrt{3}$，即AD和BC之间的距离为$\sqrt{3}$，
∵BC=4，E为BC中点，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=2．
①当Q在BC上时，如图1，
∵AD∥BC，AE∥PQ，
∴四边形AEQP是平行四边形，
∴AP=EQ=x，
∴S_△BPQ=$\frac{1}{2}$×BQ×AH=$\frac{1}{2}$（2+x）×$\sqrt{3}$，
即y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\sqrt{3}$（0≤x≤2）；
②当Q在CD上时，如图2，
延长PQ交BC的延长线于M，过Q作RT⊥AD于R，交BC的延长线于T，
∵AD∥BC，
∴QT⊥CB，
即RT=AH=$\sqrt{3}$，
∵AD=BC=4，CE=BE=2，AP=EM=x，
∴DP=4-x，CM=x-2，
∵AD∥BC，
∴△PDQ∽△MCQ，
∴$\frac{RQ}{TQ}$=$\frac{DP}{CM}$，
∴$\frac{\sqrt{3}-QT}{QT}$=$\frac{4-x}{x-2}$，
解得：QT=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\sqrt{3}$，
∴y=S_△BPM-S_△BQM
=$\frac{1}{2}$•（2+x）•$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$•（2+x）•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\sqrt{3}$）
=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+2$\sqrt{3}$（2＜x≤4），
由①和②可知，函数图象为分段函数，当0≤x≤2时，函数图象是线段；当2＜x≤4时，函数图象是开口向下的抛物线．
故选（C）

点评 本题主要考查了动点问题的函数图象，考核了学生分析问题、解决问题的能力．解题时需要运用平行四边形的性质与判定，以及相似三角形的判定与性质等，其关键是深刻理解动点移动时的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．