Question

13．如图，平面直角坐标系中，点A是x轴负半轴上一个定点，点P是函数y=$\frac{-6}{x}$（x＜0）上一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（　　）

• A． 先增后减
• B． 先减后增
• C． 逐渐减小
• D． 逐渐增大

Answer 1

分析 过点P作PC⊥x轴于点C，根据k的几何意义可知矩形PBOC的面积为6，然后只需要讨论△APC的面积大小即可．

解答 解：过点P作PC⊥x轴于点C，
∵点P在y=-$\frac{6}{x}$（x＜0）
∴矩形PBOC的面积为6
设A的坐标为（a，0），P坐标（x，$-\frac{6}{x}$）（x＜0），
△APC的面积为S，
当a＜x＜0时，
∴AC=x-a，
∴PC=-$\frac{6}{x}$
∴△APC的面积为S=$\frac{1}{2}$（x-a）•$\frac{-6}{x}$=-3（1-$\frac{a}{x}$）
∵a＜0，
∴-a＞0，
∴-$\frac{a}{x}$在a＜x＜0上随着x的增大而减小，
∴1-$\frac{a}{x}$在a＜x＜0上随着x的增大而减小，
∴-3（1-$\frac{a}{x}$）在a＜x＜0上随着x的增大而增大，
∴S=S_△APC+6
∴S在a＜x＜0上随着x的增大而增大，
当x≤a时，
∴AC=a-x，
∴PC=-$\frac{6}{x}$
∴△APC的面积为S=$\frac{1}{2}$（a-x）•$\frac{-6}{x}$=-3（$\frac{a}{x}$-1）
∵a＜0，
∴$\frac{a}{x}$在x＜a随着x的增大而增大，
∴$\frac{a}{x}$-1在x＜a上随着x的增大而增大，
∴-3（$\frac{a}{x}$-1）在x＜a上随着x的增大而减小，
∴S=6-S_△APC
∴S在x＜a上随着x的增大而增大，
∴当P的横坐标增大时，S的值是逐渐增大，
故选（D）

点评 本题考查反比例函数的图象性质，解题的关键是将点P的位置分为两种情况进行讨论，然后根据反比例函数的变化趋势求出△APC的面积变化趋势．本题综合程度较高．