Question

17．例：解分式不等式$\frac{2x}{x+1}$＞1
解：当x+1＞0时，去分母得2x＞x+1；当x+1＜0时，去分母得2x＜x+1
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{2x＞x+1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x+1＜0}\\{2x＜x+1}\end{array}\right.$，
分别解不等式组得：x＞1或x＜-1
所以原不等式的解集为：x＞1或x＜-1
根据以上材料，解决下面问题：
（1）请你写出一个分式不等式；
（2）解分式不等式$\frac{3x+2}{x-3}$≥1；
（3）解分式不等式$\frac{-2{x}^{2}+3x}{{x}^{2}+2x+1}$＜-2．

Answer 1

分析 （1）根据题意写出一个分母中有未知数的不等式即可；
（2）类比以上作法分x-3＞0、x-3＜0两种情况，分别去分母得到两个不等式组，解不等式组可得；
（3）观察到不等式分母x²+2x+1=（x+1）²≥0，直接去分母可得不等式，解不等式可得解集．

解答 解：（1）$\frac{2x}{x-2}＜1$；
（2）当x-3＞0时，去分母，得：3x+2≥x-3；
当x-3＜0时，去分母，得：3x+2≤x-3；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-3＞0}\\{3x+2≥x-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x-3＜0}\\{3x+2≤x-3}\end{array}\right.$，
分别解不等式组，得：x＞3或x≤-5，
所以原不等式的解集为：x＞3或x≤-5；
（3）∵x²+2x+1=（x+1）²≥0，
∴去分母，得：-2x²+3x＜-2（x²+2x+1），
解得：x＜-$\frac{2}{7}$，
又（x+1）²≠0，即x≠-1，
∴原不等式的解集为：x＜-$\frac{2}{7}$且x≠-1．

点评 本题主要考查解分式不等式的能力和类比的作法，熟知不等式的基本性质是解题的根本，理解和掌握例题的作法是解题的关键．