Question

19．如图，反比例函数y=$\frac{3}{x}$的图象与一次函数y=x+2的图象交于A、B两点．
（1）当x取何值时，反比例函数的值小于一次函数的值．
（2）在双曲线上找一点C，使∠BAC为直角，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）由于反比例函数的值小于一次函数的值，故反比例函数需要在一次函数的图象的下方，根据图象即可求出x的范围；
（2）过点A作AC⊥AB交双曲线于点C，交y轴于点D，过点A作AE⊥y轴于点E，根据条件求出直线AC的解析式，然后联立直线AC与双曲线即可求出点C的坐标

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-1}\end{array}\right.$
解得A（1，3），B（-3，-1）
当反比例函数的值小于一次函数的值-3＜x＜0或x＞1；
（2）过点A作AC⊥AB交双曲线于点C，交y轴于点D，
过点A作AE⊥y轴于点E，
令x=0代入y=x+2，
∴y=2，
∴G（0，2）
令y=0代入y=x+2，
∴x=-2，
∴F（-2，0）
∴OF=OG
∴∠GFO=45°，
∴∠AGE=45°，
∴△DAG是等腰直角三角形，
∵A（1，3）
∴OE=3，AE=1，
∴AE=DE=1，
∴OD=OE+DE=4，
∴D（0，4）
设直线AC的解析式为y=mx+n，
把（0，4）和（1，3）代入y=mx+n
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=n}\\{3=m+n}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=4}\end{array}\right.$
∴y=-x+4，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$
∴点C（3，1）．

点评 本题考查反比例函数的综合问题，解题的关键是联立两函数的解析式求出交点坐标，本题属于中等题型．