Question

11．如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，
求（1）AE的长．
（2）折痕EF的长．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质得到AE=CE，根据勾股定理即可得到结论
（2）先过点F作FG⊥BC于G．利用勾股定理可求出AE，再利用翻折变换的知识，可得到AE=CE，∠AEF=∠CEF，再利用平行线可得∠AEF=∠AFE，故有AE=AF．求出EG，再次使用勾股定理可求出EF的长．

解答 解：（1）∵将长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，
∴AE=CE，
∴BE=BC-CE=BC-AE=8-AE，
∵∠B=90°，
∴AB²+BE²=AE²，
即4²+（8-AE）²=AE²，
∴AE=5；
（2）解：过点F作FG⊥BC于G
∵EF是直角梯形AECD的折痕
∴AE=CE，∠AEF=∠CEF．
又∵AD∥BC
∴∠AEF=∠AFE．
∴AE=AF．
在Rt△ABE中，
设BE=x，AB=4，AE=CE=8-x．x²+4²=（8-x）²，
解得x=3．
在Rt△FEG中，EG=BG-BE=AF-BE=AE-BE=5-3=2，FG=4，
∴EF=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．