Question

如图，已知?ABCD，E，F是对角线BD上的两点，且BE=DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）当AE垂直平分BC且四边形AECF为菱形时，直接写出AE：AB的值．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,菱形的性质

专题：

分析：（1）连接对角线AC交对角线BD于点O，运用OA=OC，OE=OF，即可判定四边形AECF是平行四边形；
（2）由AE是BC的中垂线，BD是AC的中垂线，得了出△ABC是等边三解形，即可解答．

解答：（1）证明：连接对角线AC交对角线BD于点O．

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵点E，F是对角线BD上的两点，且BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，
即OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）∵AE垂直平分BC，
∴AB=AC，
∵四边形AECF为菱形，
∴BO垂直平分AC，
∴AB=BC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠EAO=30°，
在RT△AOE中，
AE=

2 3

3

AO=

3

3

AC，
∴AE：AC=

3

3

，
∵AE=AB，
∴AE：AC=

3

3

．

点评：本题主要考查平行四边形的性质及判定和菱形的性质，本题的关键是灵活运用知识找出线段之间的关系．