Question

9．如图，在△ABC中，AB=BC，点P是△ABC内部的一点，∠BAP+∠BCP=90°，若AP=4，BP=5，CP=3，求证：△ABC为正三角形．

Answer 1

分析 因为BA=BC，所以可以将△ABP绕点B旋转到如图位置得到△BCM，只要证明△PBM是等边三角形即可解决问题．

解答 证明：因为BA=BC，所以可以将△ABP绕点B旋转到如图位置得到△BCM，
∵∠BAP+∠BCP=90°，∠BAP=∠BCM，
∴∠PCM=90°，
∵PC=3，CM=PA=4，
∴PM=$\sqrt{P{C}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵PB=BM=PM=5，
∴△PBM是等边三角形，
∴∠PBM=60°，
∴∠ABC=∠PBM=60°，
∵BA=BC，
∴△ABC是等边三角形．

点评 本题考查等边三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造特殊三角形解决问题，学会利用旋转法构造辅助线，属于中考常考题型．