Question

17．如图，AB是⊙O的直径，PO⊥AB交⊙O于点P，弦PN与AB相交于点M，求证：PM•PN=2PO²．

Answer 1

分析 延长PO交⊙O于点Q，连接NQ，由PQ为直径且PO⊥AB得∠POM=∠PNQ=90°，根据∠OPM=∠NPQ可证△POM∽△PNQ得$\frac{PM}{PQ}$=$\frac{PO}{PN}$，即PM•PN=PQ•PO=2PO•PO=2PO²．

解答 证明：延长PO交⊙O于点Q，连接NQ，

∵PO⊥AB，
∴∠POM=∠PNQ=90°，
∵∠OPM=∠NPQ，
∴△POM∽△PNQ，
∴$\frac{PM}{PQ}$=$\frac{PO}{PN}$，
∵PQ=2PO，
∴PM•PN=PQ•PO=2PO•PO=2PO²，
即PM•PN=2PO²．

点评 本题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质，根据直径所对圆周角为直角得出∠POM=∠PNQ=90°，从而证得两三角形相似是解题的关键．