Question

4．定义：在平面直角坐标系中，点A、B为函数L图象上的任意两点，点A坐标为（x₁，y₁），点B坐标为（x₂，y₂），把式子$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$称为函数L从x₁到x₂的平均变化率；对于函数K：y=2x²-3x+1图象上有两点A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），当x₁=1，x₂-x₁=$\frac{1}{3}$时，函数K从x₁到x₂的平均变化率是$\frac{5}{3}$；当x₁=1，x₂-x₁=$\frac{1}{n}$（n为正整数）时，函数K从x₁到x₂的平均变化率是$\frac{n+2}{n}$．

Answer 1

分析 先求出x2的值，再求出y₁、y₂，根据新定义求解可得．

解答 解：∵x₁=1，x₂-x₁=$\frac{1}{3}$，
∴x₂=$\frac{4}{3}$，
则y₁=0，y₂=2×$\frac{16}{9}$-3×$\frac{4}{3}$+1=$\frac{5}{9}$，
∴函数K从x₁到x₂的平均变化率是$\frac{\frac{5}{9}-0}{\frac{1}{3}}$=$\frac{5}{3}$；
∵x₁=1，x₂-x₁=$\frac{1}{n}$，
∴x₂=$\frac{n+1}{n}$，
则y₁=0，y₂=2×$\frac{（n+1）^{2}}{{n}^{2}}$-3×$\frac{n+1}{n}$+1=$\frac{n+2}{{n}^{2}}$，
∴函数K从x₁到x₂的平均变化率是$\frac{\frac{n+2}{{n}^{2}}-0}{\frac{1}{n}}$=$\frac{n+2}{n}$，
故答案为：$\frac{5}{3}$，$\frac{n+2}{n}$．

点评 本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，理解新定义求出所需函数值是解题的关键．