Question

16．对于一个三位正整数t，将各数位上的数字重新排序后（包括本身），得到一个新的三位数$\overline{abc}$（a≤c），在所有重新排列的三位数中，当|a+c-2b|最小时，称此时的$\overline{abc}$为t的“最优组合”，并规定F（t）=|a-b|-|b-c|，例如：124重新排序后为：142、214、因为|1+4-4|=1，|1+2-8|=5，|2+4-2|=4，所以124为124的“最优组合”，此时F（124）=-1．
（1）三位正整数t中，有一个数位上的数字是另外两数位上的数字的平均数，求证：F（t）=0
（2）一个正整数，由N个数字组成，若从左向右它的第一位数能被1整除，它的前两位数能被2整除，前三位数能被3整除，…，一直到前N位数能被N整除，我们称这样的数为“善雅数”．例如：123的第一位数1能披1整除，它的前两位数12能被2整除，前三位数123能被3整除，则123是一个“善雅数”．若三位“善雅数”m=200+10x+y（0≤x≤9，0≤y≤9，x、y为整数），m的各位数字之和为一个完全平方数，求出所有符合条件的“善雅数”中F（m）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由三位正整数t中，有一个数位上的数字是另外两数位上的数字的平均数，根据“最优组合”的定义即可求解；
（2）由三位“善雅数”的定义，可得a为偶数，且2+x+y是3的倍数，且2+x+y＜30，又由m的各位数字之和为一个完全平方数，可得2+x+y=3²=9，继而求得答案．

解答 （1）证明：∵三位正整数t中，有一个数位上的数字是另外两数位上的数字的平均数，
∴重新排序后：其中两个数位上数字的和是一个数位上的数字的2倍，
∴a+c-2b=0，
∴F（t）=0；
∵（2）∵m=200+10x+y是“善雅数”，
∴x为偶数，且2+x+y是3的倍数，
∵x＜10，y＜10，
∴2+x+y＜30，
∵m的各位数字之和为一个完全平方数，
∴2+x+y=3²=9，
∴当x=0时，y=7，
当x=2时，y=5，
当x=4时，y=3，
当x=6时，y=1，
∴所有符合条件的“善雅数”有：207，225，243，261，
∴所有符合条件的“善雅数”中F（m）的最大值是|2+7-0×2|=9．

点评 此题考查了完全平方数的应用问题．注意掌握数的整除问题，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．