Question

18．如图，△ABC的两条高线BD，CE相交于点F，已知∠ABC=60°，AB=10，CF=EF，则△ABC的面积为（　　）

• A． 20$\sqrt{3}$
• B． 25$\sqrt{3}$
• C． 30$\sqrt{3}$
• D． 40$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 连接AF延长AF交BC于G．设EF=CF=x，连接AF延长AF交BC于G．设EF=CF=x，因为BD、CE是高，所以AG⊥BC，由∠ABC=60°，∠AGB=90°，推出∠BAG=30°，在Rt△AEF中，由EF=x，∠EAF=30°可得AE=$\sqrt{3}$x，在Rt△BCE中，由EC=2x，∠CBE=60°可得BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x．可得$\sqrt{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x=10，解方程即可解决问题．

解答 解：连接AF延长AF交BC于G．设EF=CF=x，
∵BD、CE是高，
∴AG⊥BC，
∵∠ABC=60°，∠AGB=90°，
∴∠BAG=30°，
在Rt△AEF中，∵EF=x，∠EAF=30°，∴AE=$\sqrt{3}$x，
在Rt△BCE中，∵EC=2x，∠CBE=60°，∴BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x．
∴$\sqrt{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x=10，
∴x=2$\sqrt{3}$，
∴CE=4$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AB•CE=$\frac{1}{2}$×10×4$\sqrt{3}$=20$\sqrt{3}$．
故选A．

点评 本题考查勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会关键方程解决问题，属于中考常考题型．