Question

6．如图，“中海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛瞧C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B、C两地相距150海里．
（1）求出此时点A到岛礁C的距离；
（2）若“中海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注：结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）根据题意得出：∠CBD=30°，BC=150海里，再利用cos30°=$\frac{CD}{AC}$，进而求出答案；
（2）根据题意结合已知得出当点B在A′的南偏东75°的方向上，则A′B平分∠CBA，进而得出等式求出答案．

解答 解：（1）如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线与点D，
由题意可得：∠CBD=30°，BC=150海里，
则DC=60海里，
故cos30°=$\frac{DC}{AC}$=$\frac{75}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：AC=50$\sqrt{3}$，
答：点A到岛礁C的距离为50$\sqrt{3}$海里；

（2）如图所示：过点A′作A′N⊥BC于点N，
可得∠1=30°，∠BA′A=45°，
则∠2=15°，即A′B平分∠CBA，
设AA′=x，则A′E=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
故CA′=2A′N=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\sqrt{3}$x，
∵$\sqrt{3}$x+x=50$\sqrt{3}$，
∴解得：x=75-25$\sqrt{3}$，
答：此时“中国海监50”的航行距离为（75-25$\sqrt{3}$）海里．

点评 此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．