Question

18．已知：线段CB=6，点A在线段BC上，且CA=2，以AB为直径做半圆O，点D为半圆O上的动点，以CD为边向外作等边△CDE．
发现：CD的最小值是2，最大值是6，△CBD面积的最大值是6．
思考：如图1，当线段CD所在直线与半圆O相切时，求弧BD的长．
探究：如图2，当线段CD与半圆O有两个公共点D，M时，若CM=DM，求等边△CDE面积．

Answer 1

分析 发现：根据圆的性质、三角形的面积公式计算；
思考：连接OD，根据切线的性质得到OD⊥CD，根据直角三角形的性质求出∠C，得到∠BOD，根据弧长公式计算即可；
探究：根据切割线定理求出CD，根据等边三角形的面积公式计算即可．

解答 解：发现：当点D与点A重合时，CD最小，CD的最小值是2，
当点D与点B重合时，CD最大，CD的最大值是6，
当OD⊥CB时，CD最小，△CBD的面积最大，最大值为：$\frac{1}{2}$×6×2=6，
故答案为：2；6；6；
思考：连接OD，
∵线段CD所在直线与半圆O相切，
∴OD⊥CD，
∵OC=4，OD=2，
∴∠C=30°，
∴∠COD=60°，
∴∠BOD=120°，
∴弧BD的长为：$\frac{120π×2}{180}$=$\frac{4}{3}$π；
探究：∵CM=DM，
∴CD=2CM，
由切割线定理得，CM•CD=CA•CB=12，
解得，CM=$\sqrt{6}$，
则CD=2$\sqrt{6}$，
∴等边△CDE面积为：$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{6}$×2$\sqrt{6}$×sin60°=6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是切线的性质、弧长的计算、切割线定理的应用，作为弧长的计算公式、切线的性质是解题的关键．