Question

6．如图1，在直角三角形ABC中，∠A=90°，点D在线段BC上，∠EDC=$\frac{1}{2}$∠B，CE⊥DE，垂足为E，DE与AC相交于点F．
（1）当$\frac{AC}{AB}=1$时（如图2），作DG∥BA，交AC于H，交CE延长线于点G．
①∠ECF=22.5°；
②通过证明△CED≌△GED与△CGH≌△DFH，可得$\frac{CE}{FD}=\frac{1}{2}$，请说明这一推理过程．
（2）当$\frac{AC}{AB}=3$时（如图3），证明：$\frac{CE}{FD}=\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）①根据等腰直角三角形的性质得到∠B=45°，根据角平分线的定义得到∠GDE=22.5°，根据同角的余角相等得到答案；
②证明△CED≌△GED和△CGH≌△DFH，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）根据AC=3AB，结合②的结论，得到答案．

解答 解：（1）①∵∠A=90°，$\frac{AC}{AB}=1$，
∴∠B=45°，
∵DG∥BA，∴∠GDC=∠B=45°，
∵∠EDC=$\frac{1}{2}$∠B=22.5°，∴∠GDE=22.5°，
∵∠DHF=∠DEC=90°，
∴∠ECF=22.5；
②证明如下：
∵DG∥AB，∠EDC=$\frac{1}{2}$∠B，
∴∠EDC=∠GDE，又∵CE⊥DE，
∴∠CED=∠GED=90°，
在△CED和△GED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GDE=∠CDE}\\{∠DEG=∠DEC}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△CED≌△GED，
∴CE=GE，即$CE=\frac{1}{2}CG$，
∵DG∥AB，∠A=90°，AB=AC，
∴∠CHG=∠DHF=90°，CH=DH．
又∵∠GCH=∠FDH，
∴△CGH≌△DFH，
∴CG=FD．
∴$CE=\frac{1}{2}FD$；
（2）作DG∥BA，交AC于H，交CE延长线于点G，
同（1）可证$CE=\frac{1}{2}CG$．
∵DG∥AB，
∴∠DHF=∠CHG=90°，又∵∠GCH=∠FDH，
∴△CGH∽△DFH，
∴$\frac{CG}{FD}=\frac{CH}{DH}$
∵DG∥AB，
∴△CHD∽△CAB，
∴$\frac{CH}{DH}=\frac{AC}{AB}=3$，
∴$\frac{CG}{FD}=3$，∴$\frac{2CE}{FD}$=3，即$\frac{CE}{FD}=\frac{3}{2}$．

点评 本题考查的是相似三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行线的性质，正确作出辅助线、灵活运用相关定理和性质是解题的关键．