Question

7．如图，在矩形ABCD中，AD=32cm，AB=24cm，点F从点B出发沿B→C方向运动，点E从点D出发沿D→A方向运动，点E和点F的速度都为3cm/s，则当点E运动$\frac{7}{3}$s后，线段EF刚好被AC垂直平分．

Answer 1

分析 如图，连接AC交EF于O，连接AF、EC．首先证明四边形AECF是平行四边形，推出OA=OC，OE=OF，在Rt△ADC中，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=40，推出OA=OC=20，
当△AOE∽△ADC时，∠AOE=∠ADC=90°，此时EF垂直平分线段AC，推出$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AO}{AD}$，可得$\frac{AE}{40}$=$\frac{20}{32}$，推出AE=25，由此求出DE即可解决问题．

解答 解：如图，连接AC交EF于O，连接AF、EC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，AB=CD=24，
∵DE=BF，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴OA=OC，OE=OF，
在Rt△ADC中，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=40，
∴OA=OC=20，
当△AOE∽△ADC时，∠AOE=∠ADC=90°，此时EF垂直平分线段AC，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AO}{AD}$，
∴$\frac{AE}{40}$=$\frac{20}{32}$，
∴AE=25，
∴DE=AD-AE=32-25=7，
∴t=$\frac{7}{3}$s，
故答案为$\frac{7}{3}$s．

点评 本题考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．