Question

17．如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在第一象限，顶点A、B分别在函数y=$\frac{8}{x}$图象的两个分支上，且AB经过原点O，BC与x轴相交于点D，连接AD，已知AD平分四边形AODC的面积．
（1）证明：BD=2CD：
（2）求点A的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数图象的对称性和三角线的面积公式得到S_△ABO=2S_△ACD．即BD=2CD；
（2）如图，过点B作BE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x于F，连接OC，构建全等三角形△OBE≌△CDF，结合该全等三角形的对应边相等得到：BE=CD，OE=CF，由$\frac{BE}{CF}$=$\frac{BD}{CD}$=2推知BE=2OE．设OE=a，则BE=2a，所以B（a，-2a），根据反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象的对称性来求点A的坐标即可．

解答 （1）证明：∵函数y=$\frac{8}{x}$图象关于原点对称，
∴OA=OB，
∴S_△AOD=S_△BOD．
∵AD平分四边形AODC的面积，
∴S_△AOD=S_△ACD．
∴S_△ABO=2S_△ACD．
∴BD=2CD；

（2）解：如图，过点B作BE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x于F，连接OC，则∠BEO=∠OFC=90°．
∵△ABC是等腰直角三角形，OA=OB，
∴∠BOC=90°，OC=$\frac{1}{2}$AB=OB，
∴∠BOE+∠COF=90°，而∠BOE+∠OBE=90°，
∴∠OBE=∠COF，
∵在△OBE与△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BEO=∠OFC}\\{OBE=∠COF}\\{OB=CO}\end{array}\right.$，
∴△OBE≌△CDF（AAS），
∴BE=CD，OE=CF，
∵∠DBE=∠DCF，
∴cos∠DBE=cos∠DCF，
∴$\frac{BE}{BD}$=$\frac{CF}{CD}$，
∵$\frac{BE}{CF}$=$\frac{BD}{CD}$=2，
∴BE=2CF，
∴BE=2OE．
设OE=a，则BE=2a，
∴B（a，-2a），
∴a•（-2a）=-8，
解得a=2，
∴B（2，-4），
∴A（-2，4）．

点评 本题考查了反比例函数综合题，综合运用反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象关于原点对称，全等三角形的判定与性质以及三角形面积的求法等知识点，难度不大，属于中档题．