题目内容
8．
如图，两个等腰直角三角形ABC、CDE，顶点C重合，点B、C、E共线，F是AE的中点，连BF、DF，求证：BF=DF且BF⊥DF．
分析 根据直线三角形斜边上中线得出BF=DF，BF=AF，DF=AF，求出∠BFE=∠FBA+∠FAB=2∠FAB，∠DFE=2∠DAF，即可得出答案．
解答 证明：∵△ABC和△DEC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∵在Rt△ABE和Rt△ADE中，∠ABC=∠CDE=90°，F为AE的中点，
∴BF=$\frac{1}{2}$AE，DF=$\frac{1}{2}$AE，
∴BF=DF；
∵BF=$\frac{1}{2}$AE，F为AE的中点，
∴BF=AF，
∴∠FBA=∠FAB，
∴∠BFE=∠FBA+∠FAB=2∠FAB，
同理∠DFE=2∠DAF，
∴∠BFD=∠BFE-∠DFE=2∠FAB-2∠FAD=2∠BAC=90°，
即BF⊥DF．
点评 本题考查了三角形外角性质，直角三角形斜边上中线性质，等腰直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
练习册系列答案
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如图所示，二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．
如图所示，OA=OB，AC=BC，求证：OC⊥AB．
在直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（1，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，C为x轴正半轴上的一个动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，直线DA交y轴于E点．
17．
如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在BC和CD边上，分别连接AE、AF、EF，若∠EAF=45°，则△CEF的周长是（ ）
如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在BC和CD边上，分别连接AE、AF、EF，若∠EAF=45°，则△CEF的周长是（ ）| A． | 6+2$\sqrt{3}$ | B． | 8.5 | C． | 10 | D． | 12 |
