Question

12．如图所示，二次函数y=-x²+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．
（1）求m的值；
（2）求直线AC的解析式；
（3）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入抛物线解析式可确定m的值；
（2）先通过抛物线解析式确定C点坐标，然后利用待定系数法求直线AC的解析式；
（3）先通过解方程-x²+2x+3=0确定B点坐标，然后根据三角形面积公式求解．

解答 解：（1）把A（3，0）代入y=-x²+2x+m得-9+6+m=0，
解得m=3；
（2）抛物线解析式为y=-x²+2x+3，
当x=0时，y=-x²+2x+3=3，则C（0，3）；
设直线AC的解析式为y=kx+b，
根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
所以直线AC的解析式为y=-x+3；
（3）当y=0时，-x²+2x+3=0，解得x₁=3，x₂=-1，则B（-1，0），
所以△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×（3+1）×3=6．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程的问题．也考查了待定系数法法求与一次函数解析式．