Question

18．如图，P为正方形ABCD内一点，且PC=3，∠APB=135°，将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′B，连接PP′．若BP的长为整数，则AP=$\sqrt{7}$或1．

Answer 1

分析 根据旋转性质可得∠APB=∠CP'B=135°、∠ABP=∠CBP'、BP=BP'、AP=CP'，由∠ABP+∠PBC=90°知△BPP'是等腰直角三角形，进而根据∠CP'B=135°可得∠PP'C=90°，设BP=BP'=a、AP=CP'=b，在RT△PP'C中根据勾股定理可得CP'=$\sqrt{9-2{a}^{2}}$，最后由BP的长a为整数可得AP．

解答 解：∵△BP'C是由△BPA旋转得到，
∴∠APB=∠CP'B=135°，∠ABP=∠CBP'，BP=BP'，AP=CP'，
∵∠ABP+∠PBC=90°，
∴∠CBP'+∠PBC=90°，即∠PBP'=90°，
∴△BPP'是等腰直角三角形，
∴∠BP'P=45°，
∵∠APB=∠CP'B=135°，
∴∠PP'C=90°，
设BP=BP'=a，AP=CP'=b，
则PP'=$\sqrt{2}$a，
在RT△PP'C中，∵PP'²+P'C²=PC²，且PC=3，
∴CP'=$\sqrt{P{C}^{2}-PP{'}^{2}}$=$\sqrt{9-2{a}^{2}}$，
∵BP的长a为整数，
∴满足上式的a为1或2，
当a=1时，AP=CP'=$\sqrt{7}$，
当a=2时，AP=CP'=1，
故答案为：$\sqrt{7}$或1．

点评 本题主要考查旋转的性质、等腰直角三角形、勾股定理等知识点，熟练运用这些性质、定理得出a、b间的关系式是关键．