Question

如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B两点，PA=4cm，∠P=40°，C是AB上任意一点，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E，求：
（1）△PDE的周长；
（2）∠DOE的度数．

Answer 1

考点：切线的性质,切线长定理

专题：

分析：（1）直接运用切线长定理即可解决问题；
（2）如图，作辅助线，首先证明△ODA≌△ODC，得∠DOA=∠DOC，进而证明∠COE=∠BOE，问题即可解决．

解答：解：如图，连接OA、OB、OC；
（1）∵DA、DC、EB、EC分别是⊙O的切线，
∴DA=DC，EB=EC；
∴DE=DA+EB，
∴PD+PE+DE=PD+DA+PE+BE=PA+PB，
∵PA、PB分别是⊙O的切线，
∴PA=PB=4，
∴△PDE的周长=8（cm）．
（2）∵DA、DC分别是⊙O的切线，
∴OA⊥DA，OC⊥DC；
在RT△ODA与RT△ODC中，

OA=OC OD=OD

，
∴△ODA≌△ODC（HL），
∴∠DOA=∠DOC；
同理可证：∠COE=∠BOE，
∴∠DOE=

1

2

∠AOB；
∵∠P+∠AOB=360°-90°-90°=180°，
∴∠AOB=180°-40°=140°，
∴∠DOE=70°．

点评：该命题以圆为载体，以考查切线的性质、切线长定理及其应用为核心构造而成；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．