Question

3．如图，四边形ABCD与ECGF是两个边长分别为a，b的正方形，
（1）用a，b表示△BGF的面积的代数式S₁=$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab；
（2）求出阴影部分的面积的代数式S₂（用a，b表示）
（3）当a=4cm，b=6cm时，阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）求出BG、FG的长度即可求出△BGF的长度．
（2）设BF与CD交于点D，易证△BCH∽△BGF，利用相似三角形的性质求出CH的长度，进而求出EH的长度，最后即可求出S₂的代数式．
（3）将a与b的值代入（2）中的代数式即可求出答案．

解答 解：（1）∵BG=BC+CG=a+b，FG=b，
∴S₁=$\frac{1}{2}$FG•BG=$\frac{1}{2}$b（a+b）=$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab
（2）∵CH∥FG，
∴△BCH∽△BGF，
∴$\frac{BC}{BG}=\frac{CH}{GF}$，
∴CH=$\frac{ab}{a+b}$，
∴DH=a-$\frac{ab}{a+b}$=$\frac{{a}^{2}}{a+b}$，
EH=b-$\frac{ab}{a+b}$=$\frac{{b}^{2}}{a+b}$，
∴S₂=S_△BDH+S_△HEF
=$\frac{1}{2}$DH•BC+$\frac{1}{2}$EH•EF
=$\frac{1}{2}$×$\frac{{a}^{2}}{a+b}$×a+$\frac{1}{2}$×$\frac{{b}^{2}}{a+b}$×b
=$\frac{{a}^{3}+{b}^{3}}{2（a+b）}$
=$\frac{（a+b）（{a}^{2}-ab+{b}^{2}）}{2（a+b）}$
=$\frac{{a}^{2}-ab+{b}^{2}}{2}$
（3）当a=4，b=6时，
S₂=$\frac{16-24+36}{2}$=14cm²
故答案为：（1）$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab

点评 本题考查代数式求值，涉及相似三角形的性质与判定，因式分解，有理数混合运算等知识，综合程度较高．