Question

如图，AB是的⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于D，且AB=8，DB=2．
（1）若∠CAD=36°，求∠BCD；
（2）试判断△ACD与△CBD是否相似；
（3）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：圆周角定理,扇形面积的计算,相似三角形的判定

专题：

分析：（1）由圆周角定理和已知条件可得：∠CAD=∠BCD；
（2）根据直径所对的圆周角是直角，得到直角三角形ABC，再根据两角对应相等即可证明三角形相似；
（3）结合图形，知阴影部分的面积即为半圆的面积减去直角三角形ABC的面积．根据相似三角形的性质即可求得BC的长，再根据勾股定理求得AC的长，从而求解．

解答：解：（1）∵AB是的⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠B=90°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠BCD=∠CAD=36°；

（2）△ABC∽△CBD，理由如下：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
在△ABC与△CBD中，
∠ACB=∠CDB=90°，∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBD；

（3）∵△ABC∽△CBD，
∴

CB

DB

=

AB

BC

，
∴CB²=DB•AB．
∵AB=8，DB=2，
∴CB=4，
在Rt△ABC中，AC=

AB2-BC2

=4

3

，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AC=8

3

，
∴S_阴影部分=

1

2

π×42-S△ABC=8（π-

3

）．

点评：此题综合运用了圆周角定理的推论、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及直角三角形和半圆的面积公式