题目内容
如图1,在直角梯形ABCD中,∠C=90°,CD=8cm,动点P、Q同时从B出发,速度都是1cm/s,点P沿BA、AD、DC运动到点C停止,点Q沿BC运动到C点停止.当点P运动到A点时,点Q恰好运动到C点.设P点运动的时间为t(s)时,△BPQ的面积为y(cm2).已知点P在AD边上运动时y与t的函数图象是图2中的线段MN.
(1)BC= cm,BA= cm,AD= cm,点M的坐标为 .
(2)P在CD边上运动时,是否存在时刻t,△PAB的周长最小?若不存在,请说明理由.
(3)△PCD能否成为等腰三角形?若能,直接写出t值;若不能,请说明理由.
(4)分别求出P在BA边上和DC边上运动时y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围),并在图2中补全整个运动中y与t的函数图象.
(1)BC=
(2)P在CD边上运动时,是否存在时刻t,△PAB的周长最小?若不存在,请说明理由.
(3)△PCD能否成为等腰三角形?若能,直接写出t值;若不能,请说明理由.
(4)分别求出P在BA边上和DC边上运动时y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围),并在图2中补全整个运动中y与t的函数图象.
考点:四边形综合题,动点问题的函数图象
专题:
分析:(1)P在AD边上运动时,△BPQ以BQ为底边,以CD长为高,因此可根据△BPQ的面积为40cm2求出BC=10cm,而P、Q速度相同,P到A的时间与Q到C的时间相同,因此BA=BC=10cm,点M的坐标为(10,40).求AD的长可通过构建直角三角形来求解.过A作AH⊥BC与H,那么在直角三角形ABH中,AH=CD=8cm,BA=10cm,因此可根据勾股定理求出BH=6cm,那么AD=BC-BH=4cm;
(2)△PAB的周长=PA+AB+PB,而AB=10cm为定值,所以当PA+PB最小时,△PAB的周长最小.延长AD到A′,使A′D=AD,连接A′B,交CD于P,此时PA+PB最小.由△A′DP∽△BCP,根据相似三角形对应边成比例即可求解;
(3)△PCD为等腰三角形时,分三种情况进行讨论:①PC=PD;②CP=CD;③DP=DC;
(4)△BQP中,BQ=t,BP=t,以BQ为底边的高可用BP•sin∠B来表示,然后可根据三角形的面积计算公式得出关于y,t的函数关系式.
(2)△PAB的周长=PA+AB+PB,而AB=10cm为定值,所以当PA+PB最小时,△PAB的周长最小.延长AD到A′,使A′D=AD,连接A′B,交CD于P,此时PA+PB最小.由△A′DP∽△BCP,根据相似三角形对应边成比例即可求解;
(3)△PCD为等腰三角形时,分三种情况进行讨论:①PC=PD;②CP=CD;③DP=DC;
(4)△BQP中,BQ=t,BP=t,以BQ为底边的高可用BP•sin∠B来表示,然后可根据三角形的面积计算公式得出关于y,t的函数关系式.
解答:解:(1)如图1.设动点P出发t秒后,点P到达点A且点Q正好到达点C时,BC=BA=t,
则S△BPQ=
BC•CD=
×t×8=40,
所以t=10(秒),
则BC=BA=10cm,点M的坐标为(10,40).
过点A作AH⊥BC于H,则四边形AHCD是矩形,
∴AD=CH,CD=AH=8cm,
在Rt△ABH中,∵∠AHB=90°,AB=10cm,AH=8cm,
∴BH=
=6cm,
∴CH=BC-BH=4cm,
∴AD=4cm;
(2)如备用图1,延长AD到A′,使A′D=AD,连接A′B,交CD于P,
则PA+PB=PA′+PB=A′B最小.
∵A′D∥BC,
∴△A′DP∽△BCP,
∴
=
,即
=
,
解得DP=
,
∴BA+AD+DP=10+4+
=
,
∴t=
÷1=
.
故P在CD边上运动时,存在时刻t=
秒,能够使△PAB的周长最小;
(3)△PCD为等腰三角形时,分三种情况:
①如果PC=PD,如备用图2,作CD的垂直平分线交AB于P1,则P1为AB的中点,此时t1=BP1÷1=5;
②如果CP=CD=8,如备用图3,以C为圆心,CD长为半径画弧,交AB于点P2,过P2作P2E⊥BC于E,过点A作AH⊥BC于H.
设BP2=x,则P2E=BP2•sin∠B=x•
=
x,BE=BP2•cos∠B=
x,
∴CE=BC-BE=10-
x.
在Rt△P2EC中,∵∠P2EC=90°,
∴P2E2+CE2=CP22,(
x)2+(10-
x)2=64,
整理,得x2-12x+36=0,
解得x1=x2=6,
∴BP2=6,t2=BP2÷1=6;
③如果DP=DC,如备用图4,以D为圆心,CD长为半径画弧,交AB于点P3,过P3作P3F⊥AD于F.
设AP3=y,则P3F=AP3•sin∠FAP3=AP3•sin∠B=y•
=
y,AF=AP3•cos∠B=
y,
∴DF=DA+AF=4+
y.
在Rt△P3FD中,∵∠P3FD=90°,
∴P3F2+DF2=DP32,(
y)2+(4+
y)2=64,
整理,得5y2+24y-240=0,
解得y1=
,y2=
(不合题意舍去),
∴BP3=AB-AP3=10-
=
,t3=BP3÷1=
;
综上所述,△PCD能成为等腰三角形,此时t的值为5秒或6秒或
秒;
(4)当点P在BA边上时,
y=
×t×tsinB=
t2×
=
t2(0≤t≤10);
当点P在DC边上时,
y=
×10×(22-t)=-5t+110(14≤t≤22);
如图2所示.
则S△BPQ=
1 |
2 |
1 |
2 |
所以t=10(秒),
则BC=BA=10cm,点M的坐标为(10,40).
过点A作AH⊥BC于H,则四边形AHCD是矩形,
∴AD=CH,CD=AH=8cm,
在Rt△ABH中,∵∠AHB=90°,AB=10cm,AH=8cm,
∴BH=
AB2-AH2 |
∴CH=BC-BH=4cm,
∴AD=4cm;
(2)如备用图1,延长AD到A′,使A′D=AD,连接A′B,交CD于P,
则PA+PB=PA′+PB=A′B最小.
∵A′D∥BC,
∴△A′DP∽△BCP,
∴
DP |
CP |
A′D |
BC |
DP |
8-DP |
4 |
10 |
解得DP=
16 |
7 |
∴BA+AD+DP=10+4+
16 |
7 |
114 |
7 |
∴t=
114 |
7 |
114 |
7 |
故P在CD边上运动时,存在时刻t=
114 |
7 |
(3)△PCD为等腰三角形时,分三种情况:
①如果PC=PD,如备用图2,作CD的垂直平分线交AB于P1,则P1为AB的中点,此时t1=BP1÷1=5;
②如果CP=CD=8,如备用图3,以C为圆心,CD长为半径画弧,交AB于点P2,过P2作P2E⊥BC于E,过点A作AH⊥BC于H.
设BP2=x,则P2E=BP2•sin∠B=x•
8 |
10 |
4 |
5 |
3 |
5 |
∴CE=BC-BE=10-
3 |
5 |
在Rt△P2EC中,∵∠P2EC=90°,
∴P2E2+CE2=CP22,(
4 |
5 |
3 |
5 |
整理,得x2-12x+36=0,
解得x1=x2=6,
∴BP2=6,t2=BP2÷1=6;
③如果DP=DC,如备用图4,以D为圆心,CD长为半径画弧,交AB于点P3,过P3作P3F⊥AD于F.
设AP3=y,则P3F=AP3•sin∠FAP3=AP3•sin∠B=y•
8 |
10 |
4 |
5 |
3 |
5 |
∴DF=DA+AF=4+
3 |
5 |
在Rt△P3FD中,∵∠P3FD=90°,
∴P3F2+DF2=DP32,(
4 |
5 |
3 |
5 |
整理,得5y2+24y-240=0,
解得y1=
-12+8
| ||
5 |
-12-8
| ||
5 |
∴BP3=AB-AP3=10-
-12+8
| ||
5 |
62-8
| ||
5 |
62-8
| ||
5 |
综上所述,△PCD能成为等腰三角形,此时t的值为5秒或6秒或
62-8
| ||
5 |
(4)当点P在BA边上时,
y=
1 |
2 |
1 |
2 |
4 |
5 |
2 |
5 |
当点P在DC边上时,
y=
1 |
2 |
如图2所示.
点评:本题是四边形综合题,主要考查了梯形的性质,三角形的面积,解直角三角形,相似三角形的判定与性质,轴对称-最短路线,等腰三角形的性质等知识,综合性较强,有一定难度.借助函数图象表达题目中的信息,读懂图象是关键.
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