Question

8．如图，等边△ABC的边长为4，BD为AC边上的中线，E为BC边上一点（不与B、C重合）．
（1）如图1，若DE⊥BC，连接AE，求AE的长；
（2）如图2，若DE平分∠BDC，求BE的长；
（3）如图3，连接AE，交BD于点M．以AM为边作等边△AMN，连接BN．请猜想∠CAE、∠CBD、∠BMN之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）如图1，过A作AF⊥于F，由等边△ABC的边长为4，BD为AC边上的中线，得到CD=$\frac{1}{2}$AC=2，∠C=60°，CF=$\frac{1}{2}$AC=2，根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图2，过E作EM⊥CD于M，根据等边三角形的性质得到CD=$\frac{1}{2}$AC=2，∠C=60°，BD⊥AC，由角平分线的定义得到∠EDM=45°，然后解直角三角形即可得到结论；
（3）由等边三角形的性质得到∠ADM=90°，由△AMN是等边三角形，得到∠AMN=60°，根据平角的定义得到∠BMN+∠BME=120°，根据对顶角的性质和直角三角形的性质得到∠BME=∠AMD=90°-∠EAC，然后等量代换即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，过A作AF⊥于F，
∵等边△ABC的边长为4，BD为AC边上的中线，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=2，∠C=60°，CF=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=1，AF=2$\sqrt{3}$，
∴EF=1，
∴AE=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{13}$；

（2）如图2，过E作EM⊥CD于M，
∵等边△ABC的边长为4，BD为AC边上的中线，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=2，∠C=60°，BD⊥AC，
∵DE平分∠BDC，
∴∠EDM=45°，
∴EM=DM，CM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$EM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DM，
∴DM+CM=（1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）EM=CD=2，
∴EM=3-$\sqrt{3}$，
∴CE=2$\sqrt{3}$-2，
∴BE=BC-CE=6-2$\sqrt{3}$；

（3）∠CAE+∠CBD=∠BMN，
证明：∵∠ADM=90°，
∵△AMN是等边三角形，
∴∠AMN=60°，
∴∠BMN+∠BME=120°，
∵∠BMN=∠AMD=90°-∠EAC，
∴∠BMN+90°-∠EAC=120°，
∴∠BMN-∠CAE=30°，
∵∠DBC=30°，
∴∠BMN-∠CAE=∠DBC，
即∠CAE+∠CBD=∠BMN．

点评 本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．