Question

16．如图（1），已知Rt△ABC的直角边AC的长为2，以AC为直径的⊙O与斜边AB交于点D，过D点作⊙O的切线交BC于点E．
（1）求证：BE=DE；
（2）延长DE与AC的延长线交于点F，若DF=$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）连结OD，如图（1），根据切线的性质得∠ODE=90°，则∠BDE+∠ADO=90°，加上∠ODA=∠A，∠A+∠B=90°，所以∠B=∠BED，于是可判断BE=DE；
（2）如图（2），在Rt△ODF中利用正切定义可计算出∠DOF=60°，则∠A=30°，再在Rt△ABC中利用正切定义计算出BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，然后根据三角形面积公式求解．

解答 （1）证明：连结OD，如图（1），
∵DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A，
而∠A+∠B=90°，
∴∠B=∠BED，
∴BE=DE；
（2）解：如图（2），
在Rt△ODF中，∵OD=1，DF=$\sqrt{3}$，
∴tan∠DOF=$\frac{DF}{OD}$=$\frac{\sqrt{3}}{1}$，
∴∠DOF=60°，
∴∠A=30°，
在Rt△ABC中，∵tanA=$\frac{BC}{AC}$，
∴BC=2tan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了解直角三角形．