Question

8．已知线段AB=a，CD=b，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），|a-2b|与（6-b）²互为相反数．
（1）求a，b的值；
（2）若M，N分别是AC，BD的中点，BC=4，求MN的长；
（3）当CD运动到某一时刻，D点与B点重合，P是线段AB延长线上任意一点，问$\frac{PA+PB}{PC}$的值是否改变？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）依据非负数的性质可知a-2b=0，6-b=0，从而可求得a、b的值；
（2）需要分类讨论：①如图1，当点C在点B的右侧时，根据“M、N分别为线段AC、BD的中点”，先计算出AM、DN的长度，然后计算MN=AD-AM-DN；②如图2，当点C位于点B的左侧时，利用线段间的和差关系求得MN的长度；
（3）先求得AC=BC=6，然后求得PA+PB=2PC，从而可求得答案．

解答 解：（1）∵|a-2b|与（6-b）²互为相反数|，
∴|a-2b|+（6-b）²=0，
∴a-2b=0，6-b=0，
∴b=6，a=12，
（2）∵b=6，a=12，
∴AB=12，CD=6．
如图1所示：

∵M、N分别为线段AC、BD的中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$（AB+BC）=$\frac{1}{2}×（12+4）$=8，
DN=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$（CD+BC）=$\frac{1}{2}×（6+4）$=5，
∴MN=AD-AM-DN=12+4+6-8-5=9；
如图2所示：

∵M、N分别为线段AC、BD的中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$（AB-BC）=4，
DN=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$（CD-BC）=1，
∴MN=AD-AM-DN=12+6-4-4-1=9；
综上所述，MN=9．
（3）如图3所示：

∵AB=12，CD=6，
∴AC=12-6=6．
∴AC=BC．
∴$\frac{PA+PB}{PC}$=$\frac{PC+AC+PC-CB}{PC}$=$\frac{2PC}{PC}$=2．

点评 本题主要考查的是两点间的距离，分类讨论是解题的关键．