Question

6．阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式ax²+bx+c（a≠0）变形为a（x+m）²+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax²+bx+c的配方法．
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：x²+11x+24=${x^2}+11x+{（\frac{11}{2}）^2}-{（\frac{11}{2}）^2}$+24
=${（x+\frac{11}{2}）^2}-\frac{25}{4}$
=$（x+\frac{11}{2}+\frac{5}{2}）（x+\frac{11}{2}-\frac{5}{2}）$
=（x+8）（x+3）
根据以上材料，解答下列问题：
（1）用多项式的配方法将x²+8x-1化成（x+m）²+n的形式；
（2）下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式x²-3x-40进行分解因式的解答过程：

老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，并用“”标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程：
（3）求证：x，y取任何实数时，多项式x²+y²-2x-4y+16的值总为正数．

Answer 1

分析 （1）根据配方法，可得答案；
（2）根据配方法，可得平方差公式，再根据平方差公式，可得答案；
（3）根据交换律、结合率，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案．

解答 解：（1）x²+8x-1
=x²+8x+4²-4²-1
=（x+4）²-17；
（2）如图所示：

正确的解答过程：
x²-3x-40=x²-3x+（$\frac{3}{2}$）²-（$\frac{3}{2}$）²-40
=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{169}{4}$
=（x-$\frac{3}{2}$+$\frac{13}{2}$）（x-$\frac{3}{2}$-$\frac{13}{2}$）
=（x+5）（x-8）；
（3）证明：x²+y²-2x-4y+16=（x²-2x+1）+（y²-4y+4）+11=（x-1）²+（y-2）²+11≥11，
故x，y取任何实数时，多项式x²+y²-2x-4y+16的值总为正数．

点评 本题考查了配方法，利用完全平方公式：a²±2ab+b²=（a±b）²配方是解题关键．