Question

11．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，D是AB上一点，DF⊥AB交AC于点F，DE⊥AC，垂足为点E．若EF：CF=2：1，DE=2，BD=6$\sqrt{5}$，求BC的长．

Answer 1

分析 过FG∥BC交AB于G，推出FG∥DE，由EF：CF=2：1，设CF=k，EF=2k，得到BG：DG=CF：EF=1：2，求出BG=2$\sqrt{5}$，DG=4$\sqrt{5}$，通过△DGF∽△EFD，得到$\frac{DG}{EF}=\frac{DF}{DE}$，解得DF=$\frac{4\sqrt{5}}{k}$，在R_t△EFD中，DF²=DE²+EF²，列方程求得k=2，得到CF=2，EF=4，DF=2$\sqrt{5}$，由射影定理得：DF²=EF•AF，求出AF=$\frac{D{F}^{2}}{EF}$=5，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：过FG∥BC交AB于G，
∵∠C=90°，DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴FG∥DE，
∵EF：CF=2：1，
设CF=k，EF=2k，
∴BG：DG=CF：EF=1：2，
∵BD=6$\sqrt{5}$，
∴BG=2$\sqrt{5}$，DG=4$\sqrt{5}$，
∵DF⊥AB，
∴∠FDG=∠DEF=90°，
∵∠GFD=∠FDE，
∴△DGF∽△EFD，
∴$\frac{DG}{EF}=\frac{DF}{DE}$，
即$\frac{4\sqrt{5}}{2k}=\frac{DF}{2}$，
∴DF=$\frac{4\sqrt{5}}{k}$，
在R_t△EFD中，DF²=DE²+EF²，
即（$\frac{4\sqrt{5}}{k}$）²=2²+（2k）²，
解得：k=2，（负值舍去），
∴CF=2，EF=4，DF=2$\sqrt{5}$，
由射影定理得：DF²=EF•AF，
∴AF=$\frac{D{F}^{2}}{EF}$=5，
∴AD=$\sqrt{A{F}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AB=7$\sqrt{5}$，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=14．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，射影定理，正确的作出辅助线是解题的关键．