Question

2．在平面直角坐标系中，过一点分別作x轴、y轴的垂线，若与两坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如，图1中过点A（4，4）分別作x轴，y轴的垂线，垂足为B、C，矩形OBAC的周长为16，面积也为16，则点A是和谐点．请根据以上材料回答下列问题：
（1）若点（5，a）是和谐点，则a=±$\frac{10}{3}$；
（2）若第一象限内的点M（m，n）与点N（4m，$\frac{1}{2}$n）均为和谐点，求$\frac{m}{n}$的值；
（3）如图2，若点P为和谐点，且在直线y=x+3上，求所有满足条件的P点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据题意列出方程，求出方程的解得到a的值即可；
（2）利用和谐点定义列出方程组，求出方程组的解，得出所求式子的值即可；
（3）设P（x，x+3），利用和谐点定义列出方程，分类讨论x的范围求出x的值，即可确定出P坐标．

解答 解：（1）根据题意得：2（|a|+5）=5|a|，
解得：a=±$\frac{10}{3}$；
故答案为：±$\frac{10}{3}$；
（2）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{2（|m|+|n|）=|mn|}\\{2（4|m|+\frac{1}{2}|n|）=|4m•\frac{1}{2}n|}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{n}{m}$=$\frac{4}{3}$（负值舍去）；
（3）设P（x，x+3），则2（|x|+|x+3|）=|x（x+3）|，
当x≤-3时，化简得：x²+7x+6=0，解得：x=-6或x=-1（舍去）；
当-3＜x＜0时，化简得：x²+3x+6=0，无解；
当x≥0时，化简得：x²-x-6=0，解得：x=3或x=-2（舍去），
综上，P的坐标为（-6，-3）或（3，6）．

点评 此题属于一次函数综合题，弄清题意和和谐点的新定义是解本题的关键．