Question

12．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为对角线AC上的一个动点，连结DE，EF⊥DE交射线BC与点F，设AE为x．
（1）当x取何值时，DE的值最小；
（2）设CF=y，当点F在线段BC上时，求y与x之间的函数关系式；
（3）试探索：当x为何值时，△EFC为等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）当DE⊥AC时，DE的值最小，利用矩形的性质可证明△AED∽△ADC，利用相似三角形的性质可求得AE的长，即可求得x的值；
（2）过点E作MN⊥BC，分别交AD、BC于M、N，可证明△AME∽△ADC，可用x表示出MD和ME，进一步可证明△DME∽△ENF，可找到y与x之间的关系式；
（3）分点F在线段BC上和在线段BC的延长线上，当点F在线段BC上时，可证明△DEF≌△DCF，可得到DF⊥AC，可求得HC，则可求得AE；当点F 在线段BC的延长线上时，可证明AD=AE，可求得AE的长，则可得出x的值．

解答 解：
（1）当DE⊥AC时，DE的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，且AD=4，AB=3，
∴AC=5，
∵DE⊥AC，
∴△ADE∽△ACD，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AD}$，即$\frac{4}{5}$=$\frac{AE}{4}$，解得AE=$\frac{16}{5}$，
∴x的值为$\frac{16}{5}$；
（2）如图1，过点E作MN⊥BC，分别交AD、BC于M、N，

∵MN∥DC，
∴△AME∽△ADC，
∴$\frac{AM}{AD}$=$\frac{ME}{CD}$=$\frac{AE}{AC}$，即$\frac{AM}{4}$=$\frac{ME}{3}$=$\frac{x}{5}$，
∴AM=$\frac{4}{5}$x，ME=$\frac{3}{5}$x，
∴MD=4-$\frac{4}{5}$x，NE=3-$\frac{3}{5}$x，
∵∠DEF=90°，
∴∠DEM+∠FEN=90°，
∵∠DME=90°，
∴∠DEM+∠EDM=90°，
∴∠EFN=∠EDM，
∵∠DME=∠ENF=90°，
∴△DME∽△ENF，
∴$\frac{DM}{EN}$=$\frac{ME}{NF}$，即$\frac{4-\frac{4}{5}x}{3-\frac{3}{5}x}$=$\frac{\frac{3}{5}x}{NF}$，
∴NF=$\frac{9}{20}$x，
∵CF=BC-FN-NF，
∴y=4-$\frac{4}{5}$x-$\frac{9}{20}$x=4-$\frac{5}{4}$x；
（3）当点F在线段BC上时，如图2，连接DF，交AC于点H，

∵∠EFC＞90°，
∴当△EFC为等腰三角形时，则有FE=FC，
在R△DEF和Rt△DCF中
$\left\{\begin{array}{l}{EF=CF}\\{DF=DF}\end{array}\right.$
∴△DEF≌△DCF（HL），
∴∠EFD=∠CFD，
∴DF⊥AC，
由（1）可知AH=$\frac{16}{5}$，
∴HC=AC-AH=5-$\frac{16}{5}$=$\frac{9}{5}$，
∴AE=5-2HC=5-$\frac{9}{5}$×2=$\frac{7}{5}$；
当点F在BC的延长线上时，如图3，延长DE交BC于H，

∵∠ECF＞90°，
∴当△EFC为等腰三角形时，则有CE=CF，
∵∠FEH=90°，CE=CF，
∴∠F=∠CEF，
∴∠F+∠EHC=∠HEC+∠CEF=90°，
∴∠EHC=∠HEC，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CHE，∠AED=∠CEH，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD=4；
综上可知当△EFC为等腰三角形时，x的值为$\frac{7}{5}$或4．

点评 本题为四边形的综合应用，涉及知识点有矩形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质及分类讨论思想．在（1）中确定出DE最小值时E点的位置是解题的关键，在（2）中用x表示出NF是解题的关键，在（3）中注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．