Question

7．如图1，将边长为1的正方形ABCD压扁为边长为1的菱形ABCD．在菱形ABCD中，∠A的大小为α，面积记为S．

（1）请补全表：

α	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°
S	$\frac{1}{2}$			1		$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

（2）填空：
由（1）可以发现单位正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着∠A大小的变化而变化，不妨把单位菱形的面积S记为S（α）．例如：当α=30°时，S=S（30°）=$\frac{1}{2}$；当α=135°时，S=S（135°）=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．由上表可以得到S（60°）=S（120°）；S（150°）=S（30°），…，由此可以归纳出S（180°-α）=（α°）．
（3）两块相同的等腰直角三角板按图2的方式放置，AD=$\sqrt{2}$，∠AOB=α，试探究图中两个带阴影的三角形面积是否相等，并说明理由（注：可以利用（2）中的结论）．

Answer 1

分析 （1）过D作DE⊥AB于点E，当α=45°时，可求得DE，从而可求得菱形的面积S，同理可求当α=60°时S的值，当α=120°时，过D作DF⊥AB交BA的延长线于点F，则可求得DF，可求得S的值，同理当α=135°时S的值；
（2）根据表中所计算出的S的值，可得出答案；
（3）将△ABO沿AB翻折得到菱形AEBO，将△CDO沿CD翻折得到菱形OCFD．利用（2）中的结论，可求得△AOB和△COD的面积，从而可求得结论．

解答 解：
（1）当α=45°时，如图1，过D作DE⊥AB于点E，

则DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴S=AB•DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
同理当α=60°时S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
当α=120°时，如图2，过D作DF⊥AB，交BA的延长线于点F，

则∠DAE=60°，
∴DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S=AB•DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
同理当α=150°时，可求得S=$\frac{1}{2}$，
故表中依次填写：$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）可知S（60°）=S（120°），
S（150°）=S（30°），
∴S（180°-α）=S（α）
故答案为：120；30；α；
（3）两个带阴影的三角形面积相等．
证明：如图3将△ABO沿AB翻折得到菱形AMBO，将△CDO沿CD翻折得到菱形OCND．

∵∠AOD=∠COB=90°，
∴∠COD+∠AOB=180°，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$S_菱形AMBO=$\frac{1}{2}$S（α）
S_△CDO=$\frac{1}{2}$S_菱形OCND=$\frac{1}{2}$S（180°-α）
由（2）中结论S（α）=S（180°-α）
∴S_△AOB=S_△CDO．

点评 本题为四边形的综合应用，涉及知识点有菱形的性质和面积、解直角三角形及转化思想等．在（1）中求得菱形的高是解题的关键，在（2）中利用好（1）中的结论即可，在（3）中把三角形的面积转化成菱形的面积是解题的关键．本题考查知识点较基础，难度不大．