Question

1．如图所示，抛物线l₁：y=ax²+b（a＜0，b＞0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，将抛物线l₁绕点B旋转180°，得到新的抛物线l₂，它的顶点为C₁，与x轴的另一个交点为A₁
（1）当a=-1，b=1时，求B点坐标及抛物线l₂的解析式；
（2）若a=-$\frac{1}{2}$，且四边形AC₁A₁C为矩形，求抛物线l₁的解析式．

Answer 1

分析 （1）将a，b的值代入抛物线解析式，即可求得点A，B，C，C₁ 的坐标，即可求得抛物线l₂的解析式；
（2）易证△ABC是正三角形，即可求得a、b的关系，即可解题．

解答 解：（1）当a=-1，b=1，
则抛物线l₁ 解析式为：y=-x²+1，
当y=0时，x=1或-1，∴点B坐标为（1，0）；点C坐标为（0，1）；
∵抛物线l₂是抛物线l₁旋转而来，∴点C₁ 坐标为（2，-1），点A₁ 坐标为（3，0）；
设抛物线l₂的解析式为y=ax²+bx+c，∵抛物线l₂是经过A₁，C₁，B点，
代入得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{4a+2b+c=-1}\\{9a+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得：a=1，b=-4，c=3，
∴抛物线l₂的解析式y=x²-4x+3；

（2）连接AC，CC₁，AC₁，

∵四边形AC₁A₁C为矩形，∴AB=BC，
∵抛物线l₁关于y轴对称，∴AC=BC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC为等边三角形；
∵当y=ax²+b=0时，x=±$\sqrt{\frac{b}{a}}$，
∴点A坐标（-$\sqrt{\frac{b}{a}}$，0），点B坐标（$\sqrt{\frac{b}{a}}$，0），点C坐标（0，b）；
∵在Rt△AOC中，AC=$\sqrt{{AO}^{2}{+CO}^{2}}$=$\sqrt{\frac{b}{a}{+b}^{2}}$，AB=2$\sqrt{\frac{b}{a}}$，
∴$\sqrt{\frac{b}{a}{+b}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{b}{a}}$，
解得：b=$\frac{3}{a}$=-6；
∴抛物线l₁的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²-6．

点评 本题考查了代入法求二次函数解析式的方法，考查了对称的性质，考查了矩形对角线互相平分的性质，考查了正三角形的判定和性质．